001 가속도
가속도(加速度, acceleration)는 단위 시간당 속도가 변화하는 양을 가리키는 물리량이다.
벡터량이며, 크기와 방향을 동시에 갖는다.
국제단위계(SI)에서의 단위는 미터 매 초의 제곱, 즉 m/s²이다.
정의식은 속도 v의 시간 미분으로 주어지며, 평균가속도는 두 시각 사이의 속도 변화량을 시간 간격으로 나눈 값이다. 순간가속도는 이 시간 간격을 0으로 보낸 극한으로 정의된다.
뉴턴 제2법칙과의 관계
가속도는 뉴턴의 제2법칙 F = ma를 통해 힘과 직접적으로 연결된다.
이 식은 질량 m이 일정한 강체에 한정될 때 정확하며,
질량이 변하는 계(예: 추력에 의해 연료가 감소하는 로켓)에서는
운동량의 시간 미분 형태인 F = dp/dt를 사용해야 한다.
대표적인 사례
지표면 근처에서 자유낙하하는 물체는 공기 저항을 무시했을 때
약 9.81 m/s²의 중력가속도를 받는다. 이 값은 지구의 위도와 고도에 따라 변하며,
적도에서는 약 9.78, 극지방에서는 약 9.83 m/s² 정도이다.
한편 등속 원운동을 하는 물체는 속도의 크기가 일정함에도 방향이 계속 바뀌므로
구심가속도라는 형태의 가속도를 가지며, 그 크기는 v²/r로 주어진다.
가속도와 자유낙하 표준
측정·정밀공학에서는 표준 중력가속도 g₀ = 9.80665 m/s²가
국제도량형총회의 규정에 따라 정의값으로 사용된다.
이 정의값은 실제 지표면의 평균값을 반영하면서도,
무게(weight)의 단위계 정의 등 다른 표준의 기준 역할을 한다.
002 관성
관성(慣性, inertia)은 외부 힘이 가해지지 않는 한 정지한 물체는 정지 상태를, 운동하는 물체는 일정한 속도의 직선 운동 상태를 유지하려는 성질이다. 뉴턴 제1법칙은 바로 이 관성의 존재를 명문화한 것이며, 관성이 적용되는 좌표계를 관성좌표계(inertial frame)라고 부른다.
관성질량과 중력질량
질량은 관성의 정량적 척도이다. 같은 힘을 가했을 때 가속도가 작은 물체일수록 관성이 크며, 그만큼 질량도 크다. 이때의 질량을 관성질량이라고 한다. 한편 중력에 의해 받는 힘에 비례하는 질량을 중력질량이라고 하며, 정밀 실험에서 두 질량은 매우 높은 정밀도로 일치한다는 사실이 확인되어 있다. 이러한 일치를 가정으로 삼아 일반 상대성 이론의 등가 원리(equivalence principle)가 출발한다.
좌표계의 선택
뉴턴 운동 법칙은 관성좌표계에서만 단순한 형태를 갖는다. 회전하는 좌표계나 가속운동하는 좌표계에서는 원심력·코리올리 힘 등 외관상 힘(가상력)이 나타나며, 이는 좌표계 변환의 부산물일 뿐 실재하는 상호작용이 아니다. 지구 표면은 자전·공전 때문에 엄밀히 말해 관성좌표계가 아니지만, 일상적인 역학 문제에서는 충분히 좋은 근사로 사용된다.
회전 관성
병진 운동에서의 관성에 대응하는 회전 운동의 개념으로
관성모멘트(moment of inertia, I)가 있다.
이는 회전축으로부터의 거리와 질량 분포에 따라 결정되며,
토크 τ와 각가속도 α 사이에 τ = Iα의 관계로 나타난다.
같은 질량이라도 분포가 회전축에서 멀수록 관성모멘트가 커지며,
피겨 스케이팅 선수가 팔을 모았다 폈다 하며 회전 속도를 조절하는 것이 이 원리이다.
003 공진
공진(共振, resonance)은 외부에서 주기적인 힘이 가해질 때 그 진동수가 계의 고유진동수와 일치하거나 매우 가까워지면 계의 진동 진폭이 급격히 커지는 현상이다. 진동을 다루는 모든 분야 — 기계, 전기, 음향, 분자, 핵 — 에 걸쳐 공통적으로 나타난다.
강제진동의 수식
감쇠가 있는 강제진동은 다음 형태의 미분방정식으로 기술된다.
m ẍ + b ẋ + k x = F₀ cos(ωt)
여기서 m은 질량, b는 감쇠계수, k는 복원력 상수이다.
고유진동수는 ω₀ = √(k/m)이며, 강제 진동수 ω가
ω₀에 접근할수록 정상상태 응답의 진폭이 커진다.
감쇠가 약할수록 공진 봉우리가 좁고 뾰족해진다.
품질계수 Q
공진의 날카로움은 품질계수(quality factor) Q = ω₀ m / b로 정량화된다.
Q 값이 클수록 공진의 폭은 좁고 봉우리는 높다.
라디오 동조 회로의 선택도, 수정 진동자의 안정성, 광공동의 선폭(linewidth)이
모두 Q의 함수로 설명된다.
공학적 의미
공진은 의도적으로 활용되기도 하고, 회피해야 할 위험으로 작용하기도 한다. MRI는 핵자기공명을 의도적으로 일으켜 영상을 얻고, 라디오 수신기는 LC 회로의 공진으로 특정 주파수를 선택한다. 반면 구조물의 고유진동수와 외부 진동(바람, 지진, 차량 통행)이 일치하면 구조 파괴로 이어질 수 있다. 1940년 미국 워싱턴주 타코마 해협 다리의 붕괴는 에어로일래스틱 플러터(aeroelastic flutter)라는 유체-구조 상호작용 현상이 주된 원인으로 분석되며, 단순한 공명만의 사건이 아니라는 점이 후속 연구에서 강조된다.
004 굴절률
굴절률(屈折率, refractive index, 흔히 n으로 표기)은
진공에서의 빛의 속도 c를 해당 매질에서의 빛의 위상속도 v로 나눈 값이다.
n = c / v
진공의 굴절률은 정의에 의해 정확히 1이며, 공기는 표준 대기 조건에서 약 1.0003, 물은 약 1.33, 보통 광학유리는 약 1.5, 다이아몬드는 약 2.42에 이른다. 굴절률이 1보다 큰 매질에서는 빛의 위상속도가 진공에서보다 느려지지만, 정보 전달 속도(군속도)는 매질의 분산 특성에 따라 별도로 평가되어야 하며 진공에서의 빛의 속도를 넘지 못한다.
스넬의 법칙
두 매질의 경계에서 빛이 굴절할 때, 입사각과 굴절각은 다음의 스넬의 법칙을 따른다.
n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂
이 관계식은 빛의 파동성을 가정한 호이겐스 원리 또는 페르마의 원리(빛은 두 점을 잇는 광경로 가운데 광로 길이가 정류적인 경로를 따른다)로부터 유도된다.
분산
대부분의 매질에서 굴절률은 파장에 따라 달라진다. 이를 분산(dispersion)이라 한다. 보통의 유리에서는 파장이 짧을수록 굴절률이 크기 때문에, 프리즘을 통과한 백색광은 짧은 파장(파랑)이 더 많이 굴절되어 무지개 띠로 분리된다. 코시의 분산식, 그리고 보다 정확한 셀마이어 방정식이 이 의존성을 정량적으로 기술한다.
전반사와 임계각
굴절률이 큰 매질에서 작은 매질 쪽으로 빛이 진행할 때,
입사각이 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면
굴절광이 발생하지 못하고 빛 전체가 경계면에서 반사된다. 이를 전반사라고 한다.
광섬유는 이 현상을 적극적으로 이용하여 빛의 손실 없는 장거리 전송을 구현한다.